Contoh soal matematika kelas 12 smk semester 1

Menjelajahi Dunia Angka: Contoh Soal Matematika Kelas 12 SMK Semester 1 dan Pembahasannya

Matematika seringkali dianggap sebagai mata pelajaran yang menantang, namun bagi siswa Sekolah Menengah Kejuruan (SMK), Matematika adalah fondasi penting yang menghubungkan teori dengan praktik di berbagai bidang kejuruan. Di kelas 12 semester 1, siswa SMK akan diperkenalkan atau mendalami berbagai konsep Matematika yang sangat relevan dengan dunia kerja, mulai dari optimasi bisnis hingga analisis data.

Artikel ini akan membahas beberapa materi pokok Matematika Kelas 12 SMK Semester 1 beserta contoh soal dan pembahasannya secara detail. Tujuannya adalah untuk memberikan gambaran yang jelas dan membantu siswa dalam mempersiapkan diri menghadapi ujian serta memahami aplikasi praktis dari setiap konsep.

Mengapa Matematika Penting di Kelas 12 SMK?

Sebelum masuk ke contoh soal, penting untuk memahami mengapa Matematika di kelas 12 SMK memiliki peran krusial:

1. Pengambilan Keputusan: Konsep seperti Program Linear membantu dalam optimasi sumber daya dan pengambilan keputusan strategis dalam bisnis atau industri.
2. Analisis Data: Statistika dan Peluang membekali siswa dengan kemampuan untuk mengumpulkan, mengolah, menganalisis, dan menginterpretasikan data, yang sangat dibutuhkan di era digital ini.
3. Pemecahan Masalah: Matriks dan Barisan Deret melatih logika berpikir sistematis dan kemampuan memecahkan masalah kompleks yang sering ditemui dalam dunia teknik, keuangan, atau bahkan pemrograman.
4. Fondasi Karir: Baik untuk melanjutkan ke jenjang pendidikan tinggi maupun langsung terjun ke dunia kerja, penguasaan Matematika akan membuka lebih banyak peluang dan meningkatkan daya saing lulusan SMK.

Materi dan Contoh Soal Matematika Kelas 12 SMK Semester 1

Materi yang umumnya dipelajari di kelas 12 SMK semester 1 meliputi Program Linear, Matriks, Barisan dan Deret, Statistika, dan Peluang. Mari kita telaah satu per satu.

1. Program Linear

Program Linear adalah metode matematis untuk mencapai nilai optimal (maksimum atau minimum) dari suatu fungsi tujuan, dengan mempertimbangkan batasan-batasan (kendala) tertentu. Materi ini sangat relevan untuk bidang manajemen, ekonomi, dan industri.

Konsep Dasar:

• Variabel Keputusan: Faktor yang dapat diubah untuk mencapai tujuan.
• Fungsi Tujuan (Objektif): Fungsi yang akan dimaksimalkan atau diminimalkan (misalnya, keuntungan, biaya).
• Fungsi Kendala: Batasan-batasan dalam bentuk pertidaksamaan linear.
• Daerah Penyelesaian (Daerah Feasible): Daerah yang memenuhi semua kendala.
• Titik Pojok: Titik-titik ekstrem pada daerah penyelesaian yang potensial menjadi nilai optimal.

Contoh Soal 1: Optimasi Keuntungan Produksi

Sebuah perusahaan konveksi memproduksi dua jenis pakaian: kemeja dan celana. Untuk memproduksi 1 kemeja diperlukan 2 meter kain katun dan 1 meter kain wol. Untuk memproduksi 1 celana diperlukan 1 meter kain katun dan 3 meter kain wol. Persediaan kain katun yang dimiliki perusahaan adalah 140 meter dan kain wol 150 meter. Keuntungan penjualan 1 kemeja adalah Rp 75.000,00 dan 1 celana adalah Rp 100.000,00. Tentukan jumlah kemeja dan celana yang harus diproduksi agar keuntungan yang diperoleh maksimum!

Pembahasan:

Langkah 1: Definisikan Variabel

• Misalkan $x$ = jumlah kemeja yang diproduksi
• Misalkan $y$ = jumlah celana yang diproduksi

Langkah 2: Rumuskan Fungsi Tujuan
Fungsi tujuan (keuntungan maksimum): $f(x, y) = 75.000x + 100.000y$

Langkah 3: Rumuskan Fungsi Kendala

• Kain Katun: $2x + 1y le 140$
• Kain Wol: $1x + 3y le 150$
• Batasan non-negatif: $x ge 0$, $y ge 0$ (jumlah produksi tidak mungkin negatif)

Langkah 4: Gambarkan Daerah Penyelesaian

• Untuk $2x + y le 140$:
  • Jika $x = 0$, maka $y = 140$ (titik (0, 140))
  • Jika $y = 0$, maka $2x = 140 Rightarrow x = 70$ (titik (70, 0))
  • Tarik garis dan arsir ke arah (0,0) karena $le$.
• Untuk $x + 3y le 150$:
  • Jika $x = 0$, maka $3y = 150 Rightarrow y = 50$ (titik (0, 50))
  • Jika $y = 0$, maka $x = 150$ (titik (150, 0))
  • Tarik garis dan arsir ke arah (0,0) karena $le$.
• Daerah penyelesaian adalah irisan dari semua daerah yang diarsir dan berada di kuadran I ($x ge 0, y ge 0$).

Langkah 5: Tentukan Titik Pojok Daerah Penyelesaian

• Titik A: (0, 0)
• Titik B: (70, 0) (perpotongan garis $2x + y = 140$ dengan sumbu x)
• Titik C: (0, 50) (perpotongan garis $x + 3y = 150$ dengan sumbu y)
• Titik D: Titik potong antara $2x + y = 140$ dan $x + 3y = 150$.
  • Eliminasi $y$:
    $2x + y = 140 quad (times 3) Rightarrow 6x + 3y = 420$
    $x + 3y = 150 quad (times 1) Rightarrow x + 3y = 150$
    ———————————— (-)
    $5x = 270 Rightarrow x = 54$
  • Substitusikan $x = 54$ ke $2x + y = 140$:
    $2(54) + y = 140$
    $108 + y = 140 Rightarrow y = 32$
  • Jadi, titik D adalah (54, 32).

Langkah 6: Substitusikan Titik Pojok ke Fungsi Tujuan

• $f(0, 0) = 75.000(0) + 100.000(0) = 0$
• $f(70, 0) = 75.000(70) + 100.000(0) = 5.250.000$
• $f(0, 50) = 75.000(0) + 100.000(50) = 5.000.000$
• $f(54, 32) = 75.000(54) + 100.000(32) = 4.050.000 + 3.200.000 = 7.250.000$

Langkah 7: Tentukan Nilai Maksimum
Keuntungan maksimum adalah Rp 7.250.000,00 yang dicapai saat memproduksi 54 kemeja dan 32 celana.

2. Matriks

Matriks adalah susunan bilangan-bilangan dalam baris dan kolom yang membentuk persegi panjang. Matriks digunakan dalam berbagai aplikasi seperti grafika komputer, kriptografi, dan menyelesaikan sistem persamaan linear.

Konsep Dasar:

• Ordo Matriks: Ukuran matriks (jumlah baris x jumlah kolom).
• Operasi Matriks: Penjumlahan, pengurangan, perkalian matriks.
• Determinan Matriks: Nilai skalar yang dihitung dari elemen-elemen matriks persegi.
• Invers Matriks: Matriks yang jika dikalikan dengan matriks asalnya menghasilkan matriks identitas.

Contoh Soal 2: Operasi Matriks dan Determinan

Diketahui matriks $A = beginpmatrix 3 & -1 2 & 4 endpmatrix$ dan $B = beginpmatrix 5 & 2 -3 & 1 endpmatrix$.
Tentukan:
a. $A + B$
b. $A times B$
c. Determinan dari matriks $A$ ($|A|$)
d. Invers dari matriks $A$ ($A^-1$)

Pembahasan:

a. Penjumlahan Matriks ($A + B$)
Penjumlahan dilakukan dengan menjumlahkan elemen-elemen yang seletak.
$A + B = beginpmatrix 3 & -1 2 & 4 endpmatrix + beginpmatrix 5 & 2 -3 & 1 endpmatrix = beginpmatrix 3+5 & -1+2 2+(-3) & 4+1 endpmatrix = beginpmatrix 8 & 1 -1 & 5 endpmatrix$

b. Perkalian Matriks ($A times B$)
Perkalian baris dengan kolom.
$A times B = beginpmatrix 3 & -1 2 & 4 endpmatrix times beginpmatrix 5 & 2 -3 & 1 endpmatrix$
$= beginpmatrix (3 times 5) + (-1 times -3) & (3 times 2) + (-1 times 1) (2 times 5) + (4 times -3) & (2 times 2) + (4 times 1) endpmatrix$
$= beginpmatrix 15 + 3 & 6 – 1 10 – 12 & 4 + 4 endpmatrix = beginpmatrix 18 & 5 -2 & 8 endpmatrix$

c. Determinan Matriks A ($|A|$)
Untuk matriks $2 times 2$, $A = beginpmatrix a & b c & d endpmatrix$, determinannya adalah $ad – bc$.
$|A| = (3 times 4) – (-1 times 2) = 12 – (-2) = 12 + 2 = 14$

d. Invers Matriks A ($A^-1$)
Untuk matriks $2 times 2$, $A^-1 = frac1 beginpmatrix d & -b -c & a endpmatrix$.
$A^-1 = frac114 beginpmatrix 4 & -(-1) -2 & 3 endpmatrix = frac114 beginpmatrix 4 & 1 -2 & 3 endpmatrix = beginpmatrix 4/14 & 1/14 -2/14 & 3/14 endpmatrix = beginpmatrix 2/7 & 1/14 -1/7 & 3/14 endpmatrix$

3. Barisan dan Deret

Barisan dan deret adalah kumpulan bilangan yang tersusun dengan pola tertentu. Barisan dan deret aritmetika serta geometri adalah yang paling umum dipelajari. Materi ini relevan untuk perhitungan keuangan (bunga, cicilan), pertumbuhan populasi, atau bahkan pola produksi.

Konsep Dasar:

• Barisan Aritmetika: Barisan dengan beda (selisih) antar suku yang berurutan selalu tetap ($U_n = a + (n-1)b$).
• Deret Aritmetika: Penjumlahan suku-suku barisan aritmetika ($S_n = fracn2(a + U_n)$ atau $S_n = fracn2(2a + (n-1)b)$).
• Barisan Geometri: Barisan dengan rasio (perbandingan) antar suku yang berurutan selalu tetap ($U_n = ar^n-1$).
• Deret Geometri: Penjumlahan suku-suku barisan geometri ($S_n = fraca(r^n – 1)r-1$ untuk $r > 1$ atau $S_n = fraca(1 – r^n)1-r$ untuk $r < 1$).

Contoh Soal 3: Aplikasi Barisan Aritmetika dan Geometri

a. Barisan Aritmetika: Seorang karyawan bank menabung setiap bulan. Pada bulan pertama ia menabung Rp 500.000,00. Bulan kedua Rp 550.000,00, bulan ketiga Rp 600.000,00, dan seterusnya. Berapa total tabungan karyawan tersebut setelah 1 tahun?

b. Barisan Geometri: Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 16 meter. Setiap kali memantul, bola mencapai ketinggian $frac34$ dari ketinggian sebelumnya. Berapa panjang lintasan total bola sampai berhenti?

Pembahasan:

a. Barisan Aritmetika:

• Ini adalah deret aritmetika.
• Suku pertama ($a$) = Rp 500.000
• Beda ($b$) = Rp 550.000 – Rp 500.000 = Rp 50.000
• Jumlah bulan ($n$) = 1 tahun = 12 bulan

• Ditanya: $S_12$ (total tabungan setelah 12 bulan)

  Gunakan rumus $Sn = fracn2(2a + (n-1)b)$:
  $S12 = frac122(2 times 500.000 + (12-1) times 50.000)$
  $S12 = 6(1.000.000 + 11 times 50.000)$
  $S12 = 6(1.000.000 + 550.000)$
  $S12 = 6(1.550.000)$
  $S12 = 9.300.000$

  Jadi, total tabungan karyawan tersebut setelah 1 tahun adalah Rp 9.300.000,00.

b. Barisan Geometri Tak Hingga:

• Ini adalah deret geometri tak hingga karena bola akan memantul terus sampai berhenti.
• Suku pertama ($a$) = ketinggian awal = 16 meter

• Rasio ($r$) = $frac34$

  Panjang lintasan total bola sampai berhenti adalah jumlah deret geometri tak hingga yang turun ($|r| < 1$).
  Lintasan ke bawah: $Stextbawah = fraca1-r = frac161 – 3/4 = frac161/4 = 16 times 4 = 64$ meter.
  Lintasan ke atas: Bola memantul ke atas dari $16 times frac34 = 12$ meter. Jadi suku pertama untuk lintasan ke atas adalah 12.
  $Stextatas = frac121 – 3/4 = frac121/4 = 12 times 4 = 48$ meter.

  Panjang lintasan total = $Stextbawah + Stextatas – textketinggian awal$ (karena ketinggian awal hanya sekali ke bawah).
  Atau bisa juga langsung $Stexttotal = a + 2 times Stextpantul$ dimana $Stextpantul$ adalah jumlah deret geometri tak hingga dari pantulan pertama.
  $Stexttotal = 16 + 2 times frac16 times 3/41-3/4 = 16 + 2 times frac121/4 = 16 + 2 times 48 = 16 + 96 = 112$ meter.

  Jadi, panjang lintasan total bola sampai berhenti adalah 112 meter.

4. Statistika

Statistika adalah ilmu yang mempelajari cara mengumpulkan, mengolah, menyajikan, menganalisis, dan menafsirkan data. Di SMK, fokusnya seringkali pada data berkelompok dan berbagai ukuran statistik.

Konsep Dasar:

• Penyajian Data: Tabel distribusi frekuensi, histogram, ogive.
• Ukuran Pemusatan Data: Mean (rata-rata), Median (nilai tengah), Modus (nilai paling sering muncul).
• Ukuran Penyebaran Data: Jangkauan, Kuartil, Desil, Persentil, Simpangan Baku (Standard Deviation), Varians.

Contoh Soal 4: Ukuran Pemusatan Data Berkelompok

Tabel distribusi frekuensi berikut menunjukkan hasil nilai ujian Matematika siswa kelas 12 SMK.

Nilai Ujian	Frekuensi ($f_i$)
50 – 59	4
60 – 69	6
70 – 79	10
80 – 89	8
90 – 99	2

Tentukan:
a. Mean (Rata-rata)
b. Median (Nilai Tengah)
c. Modus (Nilai Paling Sering Muncul)

Pembahasan:

Langkah 1: Tambahkan Kolom Titik Tengah ($x_i$) dan $f_i times x_i$

Nilai Ujian	Frekuensi ($f_i$)	Titik Tengah ($x_i$)	$f_i times x_i$	Frekuensi Kumulatif ($F_k$)
50 – 59	4	54.5	218	4
60 – 69	6	64.5	387	10
70 – 79	10	74.5	745	20
80 – 89	8	84.5	676	28
90 – 99	2	94.5	189	30
Total	$sum f_i = 30$		$sum f_i x_i = 2215$

a. Mean (Rata-rata)
Rumus: $barx = fracsum f_i x_isum f_i$
$barx = frac221530 = 73.83$

b. Median (Nilai Tengah)

• Jumlah data ($N$) = 30.
• Letak Median = $fracN2 = frac302 = 15$. Artinya, median berada pada data ke-15.
• Lihat kolom Frekuensi Kumulatif: Data ke-15 berada pada kelas interval 70 – 79.
• Tepi Bawah Kelas Median ($L$) = $70 – 0.5 = 69.5$
• Frekuensi Kumulatif Sebelum Kelas Median ($F_kum$) = 10 (dari kelas 50-59 dan 60-69)
• Frekuensi Kelas Median ($f_med$) = 10

• Panjang Kelas Interval ($c$) = $59 – 50 + 1 = 10$ (atau $60-50=10$)

  Rumus Median: $Me = L + left( fracfracN2 – Fkumfmed right) times c$
  $Me = 69.5 + left( frac15 – 1010 right) times 10$
  $Me = 69.5 + left( frac510 right) times 10$
  $Me = 69.5 + 5 = 74.5$

c. Modus (Nilai Paling Sering Muncul)

• Kelas Modus adalah kelas dengan frekuensi terbesar, yaitu 70 – 79 (frekuensi 10).
• Tepi Bawah Kelas Modus ($L$) = $70 – 0.5 = 69.5$
• Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya ($d_1$) = $10 – 6 = 4$
• Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya ($d_2$) = $10 – 8 = 2$

• Panjang Kelas Interval ($c$) = 10

  Rumus Modus: $Mo = L + left( fracd_1d_1 + d_2 right) times c$
  $Mo = 69.5 + left( frac44 + 2 right) times 10$
  $Mo = 69.5 + left( frac46 right) times 10$
  $Mo = 69.5 + frac406$
  $Mo = 69.5 + 6.67 approx 76.17$

5. Peluang

Peluang adalah cabang Matematika yang mempelajari kemungkinan terjadinya suatu peristiwa. Konsep ini penting dalam analisis risiko, quality control, dan pengambilan keputusan di berbagai industri.

Konsep Dasar:

• Ruang Sampel: Himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan.
• Kejadian (Event): Himpunan bagian dari ruang sampel.
• Peluang Suatu Kejadian: $P(A) = fracn(A)n(S)$, di mana $n(A)$ adalah banyaknya anggota kejadian A dan $n(S)$ adalah banyaknya anggota ruang sampel.
• Permutasi: Susunan yang memperhatikan urutan.
• Kombinasi: Susunan yang tidak memperhatikan urutan.

Contoh Soal 5: Permutasi dan Kombinasi

a. Dari 5 orang calon pengurus OSIS (A, B, C, D, E), akan dipilih Ketua, Sekretaris, dan Bendahara. Berapa banyak susunan pengurus yang mungkin terbentuk?

b. Dari 10 siswa berprestasi, akan dipilih 3 siswa untuk mengikuti lomba cerdas cermat. Berapa banyak cara pemilihan yang dapat dilakukan?

Pembahasan:

a. Permutasi (Memperhatikan Urutan)

• Akan dipilih 3 posisi (Ketua, Sekretaris, Bendahara) dari 5 orang. Urutan pemilihan sangat penting (misal A Ketua, B Sekretaris berbeda dengan B Ketua, A Sekretaris).
• Gunakan rumus Permutasi $P(n, k) = fracn!(n-k)!$
• $n = 5$ (jumlah total orang)

• $k = 3$ (jumlah posisi yang akan diisi)

  $P(5, 3) = frac5!(5-3)! = frac5!2! = frac5 times 4 times 3 times 2 times 12 times 1 = 5 times 4 times 3 = 60$

  Jadi, ada 60 susunan pengurus yang mungkin terbentuk.

b. Kombinasi (Tidak Memperhatikan Urutan)

• Akan dipilih 3 siswa dari 10 siswa untuk lomba. Urutan pemilihan tidak penting (misal memilih A, B, C sama saja dengan memilih C, B, A).
• Gunakan rumus Kombinasi $C(n, k) = fracn!k!(n-k)!$
• $n = 10$ (jumlah total siswa)

• $k = 3$ (jumlah siswa yang akan dipilih)

  $C(10, 3) = frac10!3!(10-3)! = frac10!3!7! = frac10 times 9 times 8 times 7! (3 times 2 times 1) times 7! = frac10 times 9 times 83 times 2 times 1$
  $C(10, 3) = frac7206 = 120$

  Jadi, ada 120 cara pemilihan yang dapat dilakukan.

Tips dan Strategi Belajar Efektif Matematika di Kelas 12 SMK

Melihat kompleksitas materi di atas, berikut adalah beberapa tips agar siswa dapat menguasai Matematika dengan baik:

1. Pahami Konsep, Bukan Hanya Menghafal Rumus: Matematika adalah tentang logika. Pahami mengapa suatu rumus bekerja, bukan hanya cara menggunakannya. Ini akan membantu dalam memecahkan soal-soal variatif.
2. Latihan Soal Secara Rutin: Kunci utama menguasai Matematika adalah dengan banyak berlatih. Kerjakan soal-soal dari berbagai sumber (buku, internet, modul).